# 曲率

曲率（curvature）就是针对曲线上某个点的切线方向角对弧长的转动率，通过微分来定义，表明曲线偏离直线的程度。数学上表明曲线在某一点的弯曲程度的数值。

# 参数曲线的曲率公式

曲线的切线方向角：曲线在点 $P$ 处的切线与 $x$ 轴正向的夹角 $\alpha$

$k=\frac{|d\alpha|}{ds}=\frac{|y''|}{(1+y'^2)^{3/2}}$

适用于连续、可导的函数曲线

局限性：需要函数的解析表达式 (如 $y=x²$ ), 但点云数据（如 3D 扫描得到的离散点）没有显式的函数形式，无法直接计算导数。

协方差矩阵

协方差矩阵：

$cov = \frac{1}{k}\sum_{i=1}^{k}(p_i-mean)(p_i-mean)^T$

特征向量：代表邻域点分布的 “主方向”（即数据最分散的方向）。例如，若邻域点近似在一个平面上，特征向量会包括平面内的两个正交方向（主方向）和垂直于平面的方向。
特征值：代表邻域点在对应主方向上的 “离散程度”（可理解为 “伸展幅度”）。特征值越大，说明数据在该方向上越分散。
- 最小特征值 $λ_0$ ：对应数据最 “紧凑” 的方向（离散程度最小）；
- 最大特征值 $λ_2$ ：对应数据最 “伸展” 的方向（离散程度最大）。

几何意义：

实例：

基于曲率计算 T 型面的焊点

T型面

"9i65wsa

	import open3d as o3d
	import numpy as np
	weld_pcd = o3d.io.read_point_cloud("2.ply") # T 型平面点云数据

	pcd_tree = o3d.geometry.KDTreeFlann(weld_pcd) # 构建 KD 树
	curvatures = np.zeros(len(weld_pcd.points)) # 初始化曲率数组

	for i in range(len(weld_pcd.points)):
	[k, idx, _] = pcd_tree.search_knn_vector_3d(weld_pcd.points[i], 20) # 搜索邻域点
	if k < 3:
	continue
	points = np.asarray(weld_pcd.points)[idx, :] # 获取邻域点坐标
	mean = np.mean(points, axis=0) # 计算邻域点均值
	points_centered = points - mean # 中心化
	cov = np.dot(points_centered.T, points_centered) / k # 计算协方差矩阵
	eigenvalues, eigenvectors = np.linalg.eigh(cov) # 计算特征值
	curvatures[i] = eigenvalues[0] / (eigenvalues.sum() + 1e-10) # 计算曲率


	threshold = np.percentile(curvatures, 98) # 计算曲率阈值
	is_weld_point = curvatures > threshold # 判断是否为焊点
	weld_points = np.asarray(weld_pcd.points)[is_weld_point] # 获取焊点坐标

	dot_radius = 0.001 # 圆点半径，根据实际场景调整
	dot_clouds = []
	for point in weld_points:
	sphere = o3d.geometry.TriangleMesh.create_sphere(radius=dot_radius) # 创建球体
	sphere.translate(point)
	sphere.paint_uniform_color([1, 1, 0]) # 黄色圆点，可调整颜色
	dot_clouds.append(sphere)

	o3d.visualization.draw_geometries([weld_pcd]+dot_clouds)

两种方法的联系
虽然公式形式不同，但两者的核心思想一致：曲率反映曲线 / 曲面的弯曲程度。